@@ -10,19 +10,18 @@ Räumliche Partitionierung beschreibt das Unterteilen eines kartesischen Raumes
Diskretisierung ist ein Prozess der Zerlegung eine kontinuierliche Oberfläche durch Abtastung in ihre diskreten Teilbereiche oder Punkte. Anwendung findet dieses Verfahren Beispielsweise im Gebiet der Netzwerktechnologie, in der ein analoges Signal durch Diskretisierung in ein digitales Signal überführt wird. Angewendet auf 3 dimensionale Objekte entsteht durch Diskretisierung ein Gitter aus Punkten, welche das zugrundeliegende Objekt approximieren.
\section{Roboter}
Eine Menge aus Gelenken und Verknüpfungen definieren einen Roboter. Das letzte Glied eines Roboters ist als Endeffektor deklariert, wobei der erste Teil die Basis des Roboters darstellst. Nähere Informationen über die Kopplung spezifischer Bestandteile werden in der zugehörigen URDF Datei dokumentiert. Diese Dateien sind XML Erweiterungen und bieten als solche einen entsprechenden Funktionsumfang. Demzufolge können anhand zusätzlicher tags Limitierungen bezüglicher der Achsen, verweise auf andere URDF Dateien und Model Dateien festgelegt werden. Neben der Möglichkeit, einen eigenen Roboter mittels URDF zu konstruieren, werden fertige Roboter von offizieller Seite bereitgestellt, wodurch ein Einblick in umfangreichere URDF Dateien möglich ist und der Aufwand entfällt.
Robotische Systeme setzen sich aus einer Menge an Festkörpern deren Verknüpfungen durch verschiedene Gelenktypen zusammen. Ein solches System kann geschlossen sein, indem die Verknüpfungen aus Festkörpern einen Kreis bilden, oder ein offenes System sein. Ein offenes robotisches System bildet eine offene kinematische Kette, dessen letzte Glied als Endeffektor deklariert ist, während der erste Festkörper die Basis darstellst. Roboterarme sind Beispiele für offene robotische Systeme mit offener kinematischer Kette und Bezugspunkt dieser wissenschaftlichen Arbeit. Nähere Informationen über die Kopplung spezifischer Bestandteile werden in der zugehörigen URDF Datei des Roboters dokumentiert. Diese Dateien sind XML Erweiterungen und bieten als solche einen entsprechenden erweiterten Funktionsumfang. Demzufolge können anhand zusätzlicher Informationen in Form von $tags$ Limitierungen bezüglicher der Achsen, Verweise auf andere URDF Dateien und 3d Model Dateien festgelegt werden. Neben der Möglichkeit, einen eigenen Roboter mittels URDF zu konstruieren, werden fertige Roboter von offizieller Seite bereitgestellt, wodurch ein Einblick in umfangreichere URDF Dateien ermöglicht wird und der Aufwand entfällt.
\section{Kinematic}
Angewendete Methoden dieser wissenschaftlichen Arbeit fundieren auf Annahmen der Kinematik. Die Kinematik ist ein Teilbereich der Physik, welches die Bewegung von
Festkörpern in robotischen Systemen/Mechanismen, abstrahierend von den daraus resultierenden Kräften, umfasst. Ein wesentlicher Aspekt ist die Repräsentation der Position und Orientierung
von Körpern im Raum, sowie der Geometrie robotischer Mechanismen. Terminologien wie Pose und Referenzkorrdinatensystem (frame) dienen der Beschreibung eines Roboters und werden daher näher beschrieben.
\section{Kinematik}
Angewendete Methoden dieser wissenschaftlichen Arbeit fundieren auf Annahmen der Kinematik. Die Kinematik ist ein Teilbereich der Physik, welches die Bewegung von Festkörpern in robotischen Systemen, abstrahierend von den daraus resultierenden Kräften und Momenten, umfasst. Ein wesentlicher Aspekt ist die Repräsentation der Position und Orientierung von Körpern im Raum und deren Relation, sowie der Geometrie robotischer Mechanismen. Terminologien wie Pose und Referenzkorrdinatensystem (Frame) dienen zum Verständnis folgender, komplizierterer Prinzipien und werden daher näher beschrieben. \par
Die Kombination aus Position und Orientierung eines Festkörpers im frame definiert eine speziefische Pose, d.h. die Koordinaten ihrer Position werden relativ zu ihrem Frame notiert.
Jeder Festkörper definiert durch 3 orthogonalen Basisvectoren und einem Koordinatenursprung $O_i$ dessen Frame, auf welchen die Pose referenziert.
Posen oder Verschiebungen von Festkörpers werden mittels zugehöriger Frames definiert.
\subsection{Pose, Position und Orientierung}
Die Kombination aus Position und Orientierung eines Festkörpers relativ zu einem Frame definiert eine speziefische Pose, d.h. die Koordinaten ihrer Position wechseln relativ zum betrachteten Frame bzw. kann unter verschiedenen Frames repräsentiert werden.
Jeder Festkörper definiert durch 3 orthogonalen Basisvektoren und einem Koordinatenursprung $ p_i \in O_i$ dessen Frame.
Posen, Verschiebungen und Rotationen fester Körpers werden mittels zugehöriger Frames definiert.
\subsection{Position und Orientierung}
Der Koordinatenursprung eines Frames i relativ zum Frame j wird durch Vektor $^{j}p_{i}\in\R^{3}$ gekennzeichnet.
\subsubsection{Position}
Der Koordinatenursprung eines Frames $i$ relativ zum Frame $j$ wird durch Vektor $^{j}p_{i}\in\R^{3}$ gekennzeichnet.
\begin{equation}
^{j}p_{i} = \begin{pmatrix}
^{j}p_{i}^{x}\\
...
...
@@ -31,10 +30,12 @@ Der Koordinatenursprung eines Frames i relativ zum Frame j wird durch Vektor $^{
\end{pmatrix}
\end{equation}
Die Elemente des Vektors $^{j}p_{i}$ sind kartesische Koordinaten aus $O_i$ im j Frame,
die auf die jeweilige Achse projiziert werden. Die Orientierung wird durch Rotationen R dargestellt, die auf einen Körper wirken. In der Robotic existieren mehrere Ansätze zur mathematischen
Beschreibung von Rotationen, welche ihre Vorteile in verschiedenen Aspekten haben. Beispielsweise stellen Quaternionen Rotationen dar, dessen geringe Anzahl an Berechnungen einen Vorteil
bezüglich des Rechenaufwands aufweist, wohingegen sich die Nullzeilen in Rotationsmatrizen und die sich daraus resultierenden Multiplikationen negativ auf den Rechenaufwand auswirken.
Die Elemente des Vektors $^{j}p_{i}$ sind kartesische Koordinaten aus $O_i$ relativ zum $j$ Frame,
die auf die jeweilige Achse projiziert werden.
\subsubsection{Orientierung}
Eine Orientierung wird durch Rotationen $R$ dargestellt, die auf einen Körper angewendet werden können. In der Robotik existieren mehrere Ansätze zur mathematischen Beschreibung von Rotationen, welche bezüglich ...hier.... Beispielsweise stellen Quaternionen Rotationen dar, dessen geringe Anzahl an Berechnungen einen Vorteil
bezüglich des Rechenaufwands aufweisen. Wohingegen sich die Nullzeilen in Rotationsmatrizen und die sich daraus resultierenden Multiplikationen negativ auf den Rechenaufwand auswirken.
Die Menge aller Rotationen R bilden mit der Matrixmultiplikation eine nicht kommutative Gruppe $SO(3)\subset\R^{3\times3}$. Die Komposition aus Rotationen $R$ ist demnach ebenfalls $\in SO(3)$ und die Rotation zwischen verschiedenen Frames kann mit $^{k}R_{i}$ = $^{k}R_{j}\times^{j}R_{i}$ realisiert werden, wobei die Reihenfolge der Multiplikation nicht beliebig ist.
