@@ -12,9 +12,53 @@ Diskretisierung ist ein Prozess der Zerlegung eine kontinuierliche Oberfläche d
\section{Roboter}
Eine Menge aus Gelenken und Verknüpfungen definieren einen Roboter. Das letzte Glied eines Roboters ist als Endeffektor deklariert, wobei der erste Teil die Basis des Roboters darstellst. Nähere Informationen über die Kopplung spezifischer Bestandteile werden in der zugehörigen URDF Datei dokumentiert. Diese Dateien sind XML Erweiterungen und bieten als solche einen entsprechenden Funktionsumfang. Demzufolge können anhand zusätzlicher tags Limitierungen bezüglicher der Achsen, verweise auf andere URDF Dateien und Model Dateien festgelegt werden. Neben der Möglichkeit, einen eigenen Roboter mittels URDF zu konstruieren, werden fertige Roboter von offizieller Seite bereitgestellt, wodurch ein Einblick in umfangreichere URDF Dateien möglich ist und der Aufwand entfällt.
\section{Kinematic}
Kinematic beschreibt einen Teilbereich der Physik, der die Bewegung von Objekten umfasst. Demnach bilden die Bestandteile eines Roboters eine Kette, in der jedes Gelenk seine eigene Pose bestehend aus Rotation und Position beschreibt. Eine Transformation T
\section{Kinematic}
Angewendete Methoden dieser wissenschaftlichen Arbeit fundieren auf Annahmen der Kinematik. Die Kinematik ist ein Teilbereich der Physik, welches die Bewegung von
Festkörpern in robotischen Systemen/Mechanismen, abstrahierend von den daraus resultierenden Kräften, umfasst. Ein wesentlicher Aspekt ist die Repräsentation der Position und Orientierung
von Körpern im Raum, sowie der Geometrie robotischer Mechanismen. Terminologien wie Pose und Referenzkorrdinatensystem (frame) dienen der Beschreibung eines Roboters und werden daher näher beschrieben.
Die Kombination aus Position und Orientierung eines Festkörpers im frame definiert eine speziefische Pose, d.h. die Koordinaten ihrer Position werden relativ zu ihrem Frame notiert.
Jeder Festkörper definiert durch 3 orthogonalen Basisvectoren und einem Koordinatenursprung $O_i$ dessen Frame, auf welchen die Pose referenziert.
Posen oder Verschiebungen von Festkörpers werden mittels zugehöriger Frames definiert.
\subsection{Position und Orientierung}
Der Koordinatenursprung eines Frames i relativ zum Frame j wird durch Vektor $^{j}p_{i}\in\R^{3}$ gekennzeichnet.
\begin{equation}
^{j}p_{i} = \begin{pmatrix}
^{j}p_{i}^{x}\\
^{j}p_{i}^{y}\\
^{j}p_{i}^{z}\\
\end{pmatrix}
\end{equation}
Die Elemente des Vektors $^{j}p_{i}$ sind kartesische Koordinaten aus $O_i$ im j Frame,
die auf die jeweilige Achse projiziert werden. Die Orientierung wird durch Rotationen R dargestellt, die auf einen Körper wirken. In der Robotic existieren mehrere Ansätze zur mathematischen
Beschreibung von Rotationen, welche ihre Vorteile in verschiedenen Aspekten haben. Beispielsweise stellen Quaternionen Rotationen dar, dessen geringe Anzahl an Berechnungen einen Vorteil
bezüglich des Rechenaufwands aufweist, wohingegen sich die Nullzeilen in Rotationsmatrizen und die sich daraus resultierenden Multiplikationen negativ auf den Rechenaufwand auswirken.
Die Menge aller Rotationen R bilden mit der Matrixmultiplikation eine nicht kommutative Gruppe $SO(3)\subset\R^{3\times3}$. Die Komposition aus Rotationen $R$ ist demnach ebenfalls $\in SO(3)$ und die Rotation zwischen verschiedenen Frames kann mit $^{k}R_{i}$ = $^{k}R_{j}\times^{j}R_{i}$ realisiert werden, wobei die Reihenfolge der Multiplikation nicht beliebig ist.
\subsection{homogene Transformation}
Eine homogene Transformationsmatrix {T} ist eine $4\times4$ Matrix, bestehend aus Rotationsmatrix $R \in SO(3)$ und einem Translationsvektor $p \in\R^{3}$. Homogene Transformationsmatrizen bilden mit der
Matrixmultiplikation eine nicht kommutative Gruppe $SE(3)$. Sie ermöglicht die synchrone Ausführung von Translation und Rotation, wobei eine Translation die Verschiebung eines beliebigen Vektors $u \in{R}^3$
an eine andere Position beschreibt, ohne sich auf dessen Orientierung auszuwirken. Aus Frame Rotationen $^{j}R_{i}$ und Koordinatenursprüngen $^{j}p_{i}$ bestehende Transformationsmatrizen $^{j}T_{i}$ beschreiben die Transformation eines Vektors $u^{i}$ in den Vektor $v^{j}$.
\begin{equation}
T = \begin{pmatrix}
R & p \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
\begin{equation}
\label{tr::Transform}
^{j}T_{i} = \begin{pmatrix}
^{j}R_{i}&^{j}p_{i}\\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
Die dadurch entstehende Transformation $^{j}T_{i}$ stellt eine Transformation von Frame i nach Frame j durch Translation $^{j}p_{i}$ und Rotation $^{j}R_{i}$ da.
Die Komposition aus Transformationen $ T \in SE(3)$ ermöglicht Transformationen zwischen mehreren Frames $^{k}T_{i}$ = $^{k}T_{j}\times^{j}T_{i}$, wobei die Reihenfolge Analog zu ... nicht beliebig ist.
\section{Arbeitsbereich eines Roboters}
Der Arbeitsbereich, auch 'Workspace' genannt, eines Roboters beschreibt, welche Bereiche im Umfeld des Roboters erreichbar sind. Die Darstellung des Arbeitsbereiches erfolgt durch 'reachability maps' oder 'capability maps', wobei capability maps die reachability maps um qualitative Merkmale erweitern.
