\chapter{Fallbeispiel}\label{ch:caseStudy}
Inhalt dieses Kapitels ist die Demonstration der Funktionsweise einzelner Elemente der Implementierung und dessen Synergie mit MoveIt spezifischen Komponenten, sowie der Integration des franka\_ros Pakets \cite{franka_ros} anhand eines Beispiels. Dieses Paket stellt hierbei die sowohl grafische, als auch funktionelle Beschreibung der Bestandteile des gleichnamigen robotischen Systems zur Verfügung, welches primär Objekt der Ausführung ist. 

\section{Ausgangspunkt kinematischer Operationen}
MoveIt bietet über die move\_group Schnittstelle eine Möglichkeit die Kommunikation mittels spezieller Nachrichten und somit der Planung und Exekution kinematischer Operationen durch den Roboter. Dies bedingt eine Konfigurationsdatei, welche das robotische System konkretisiert, indem Beispielsweise Kontrollelemente wie Endeffektoren als Gruppen definiert oder Adjazenzen der einzelnen Festkörper in Form einer Kollisionsmatrix erfasst werden oder weitere Nodes initialisiert werden. Die Konfigurationsdatei stellt dadurch den Ausgangspunkt aller operativen Aspekte des Fallbeispiels dar und ist daher sowohl für einen Roboter, als auch für mehrere robotische Systeme in der Implementierung enthalten. Diese Konfigurationen wurden mittels MSA generiert. 

\subsection{Modifikationen in der Beschreibung robotischer Systeme}
Die move\_group Schnittstelle bietet keine Möglichkeit zur Deklaration einer Roboterposition, da diese durch die Roboterbeschreibung festgelegt ist, welche Referenz der spezifischen Konfigurationsdatei ist. Dies impliziert die Notwendigkeit eine Modifikation, indem geforderte Positionen in Form von Variablen sukzessiv innerhalb der Instanzen einer Konfigurationsdatei bis zur letzten Instanz, der Roboterbeschreibung, kommuniziert werden.

\section{Präparation des Fallbeispiels}
Die Kalkulation valider Positionen für robotische Systeme erfordert die Roboter zentrierte Inspektion des Arbeitsraums und eine Aufgabenbeschreibung, welche für $i \in \N_{>0}$ Endsysteme mindestens $i$ Operationsketten aufweist. Die diesbezüglich vorzunehmende Arbeitsraumanalyse und dessen Inversion ist Aufgaben-Unabhängig, erfolgt daher a priori und kann auf alle Aufgabenbeschreibung angewendet werden, die vom Ausgangssystem der Analyse, wie Beispielsweise dem 'Panda' der Franka Emika GmbH, operiert werden sollen. Die Aufgabenbeschreibung kann zum Ermittlungszeitpunkt vorgenommen werden oder schon persistiert vorliegen.

\subsection{Aufgabenkonstruktion}
Die Aufgabenbeschreibung in Form einer Operationskette erfolgt über Interaktive Marker, die jeweils die Abstell- beziehungsweise Greifposition eines Primitives darstellen. Jede dieser Positionen erfordert ein zusätzliches Kollisionsobjekt als Operationsoberfläche 'Support\_Surface', welche dem robotischen System über das spezifische Nachrichten kommuniziert und ohne dessen eine Operation nicht exekutiert wird. Dieser redundante Aufwand wird im Algorithmus berücksichtigt und ist implizit durch die Position und Dimension des Kettenglieds definiert. Demzufolge ist beispielsweise eine Differenzierung der zu erzeugenden Kollisionsobjekte, durch Platzierung zusätzlicher Abstelltische, kein Aspekt der Aufgabenbeschreibung. Ausgangspunkt einer Operationskette und dessen Teilketten ist der Startknoten, welcher durch seine Identität $id=0$ und der Farbe 'grün' gekennzeichnet ist. Es ist stets möglich, einen weiteren Knoten zu generieren, der als weiteres Kettenglied farblich blau und schriftlich gekennzeichnet ist. Die 'Schnitt' Option im Menü des Startknotens dupliziert diesen und ist ab einer Operationskette beziehungsweise Teilkette der Länge zwei möglich. Eine valide Aufgabenbeschreibung ist nur formulierbar und wird persistiert, wenn mindestens zwei Teilketten existieren die jeweils mindestens zwei Augabenposen enthalten, da dies die Notwendigkeit zweier robotischer Systeme und das Vorhandensein einer Greif und Abstellposition impliziert. Die Wiederherstellung des Ausgangszustands ist ebenfalls durch einen zusätzlichen Menüpunkt möglich, dies eliminiert alle Glieder bis auf den Startknoten. Anlog dupliziert die 'Kooperation' Option das jeweils letzte Glied der Operationskette beziehungsweise Teilkette und visualisiert diese Schnittmenge ebenfalls schriftlich und farblich durch die Farbe rot. Dies impliziert, dass eine Operationskette aus Schnitt- und Kooperationskomponenten bestehen kann, was für die Anwendung auf $n \in \N_{>2}$ robotischen Systemen relevant ist.

\section{Positionsanalyse}
Der Algorithmus zur Ermittlung von Positionen robotischer Systeme bezüglich einer Aufgabenbeschreibungen erfordert diese und zusätzlich den invertierten Arbeitsraum namentlich als Parameter. Über diese erfolgt der Zugriff auf die jeweiligen persistenten Dateien und die Berechnung auf Grundlage dessen beginnt. Alle Resultate sind Transparent über das graphische Programm RViz einsehbar, dabei kann der Umfang der visualisierten Informationen über Checkboxen reguliert werden. Die Metrik $D_{Reach}(Voxel)(TK)$ aus \autoref{eq:29}, welche differenzierten Voxelisierung kalkuliert, visualisiert die Wertigkeit eines Voxels farblich. Analog zur Menge $P_{Base}$ jedes Kettenglieds und deren Differenzierung in die jeweilige Operationskette beziehungsweise Teilkette ist zusätzlich die Projektion dieser Werte auf die XY Ebene des kartesischen Koordinatensystems eine mögliche visuelle Modalität. Der maximale Index je Teilkette und Voxel ist ebenfalls einsehbar und wird mit zusätzlichen Informationen, wie dem Namen der Aufgabenbeschreibung, persistiert.

\section{Ausführung der Operationskette}
Zur Ausführung der Operationskette ist ein weiterer Algorithmus implementiert, welcher die permutierten Informationen der Positionsanalyse Aufruft und die robotischen Systeme an den kalkulierten Positionen initialisiert, um jeweils die Teilketten zu operieren. 