diff --git a/sections/grundlagen.tex b/sections/grundlagen.tex
index 2590d21069363f4393548f41a3438c21a6b82f35..231951716ad9d5b768e381f0320e37c7312eb825 100644
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@@ -68,8 +68,15 @@ T  = \begin{pmatrix}
 													\end{pmatrix}
 \end{equation}
 
-Die dadurch entstehende Transformation $^{j}T_{i}$ stellt eine Transformation von Frame $i$ nach Frame $j$ durch Translation $^{j}p_{i}$ und Rotation $^{j}R_{i}$ da. 
+Die dadurch entstehende Transformation $^{j}T_{i}$ stellt eine Transformation von Frame $j$ nach Frame $i$ durch Translation $^{j}p_{i}$ und Rotation $^{j}R_{i}$ da. 
 Die Komposition aus Transformationen $ T \in SE(3)$ ermöglicht Transformationen zwischen mehreren Frames $^{k}T_{i}$ = $^{k}T_{j} \times ^{j}T_{i}$, wobei die Reihenfolge Analog zu Rotation nicht beliebig ist.
+Durch dieser Komposition aus Transformationen lässt sich die kinematische Kette eines aus verknüpften Festkörpern bestehenden offenen Roboter Systems wie in ... beschreiben. 
+
+\begin{equation}
+\label{RobotEq}
+%^{n}T_{0}= \prod \limits_{i=1}^{n} ^{i-1}a_{i}
+\end{equation}
+  
 
 \section{Arbeitsbereich eines Roboters}
 Der Arbeitsbereich, auch 'Workspace' genannt, eines Roboters beschreibt, welche Bereiche im Umfeld des Roboters erreichbar sind. Die Darstellung des Arbeitsbereiches erfolgt durch 'reachability maps' oder 'capability maps', wobei capability maps die  reachability maps um qualitative Merkmale erweitern.
diff --git a/sections/konzept.tex b/sections/konzept.tex
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..5f68e0b824fc99a9e320f0651e67221bf72db127
--- /dev/null
+++ b/sections/konzept.tex
@@ -0,0 +1,32 @@
+\chapter{Konzept}\label{ch:concept}
+Die effiziente Platzierung robotischer Systeme ist ein fundamentaler Bestandteil zur Schaffung kollaborative Multi-Roboter Arbeitsräume. Wissenschaftliche Arbeiten charakterisieren die Analyse des Arbeitsraums einzelner Roboter, sowie der Kenntnis bezüglich auszuführender Aufgaben als notwendige Voraussetzungen, um anhand dieser Informationen sukzessiv die optimale Position des Roboters zu bestimmen. Dieses Kapitel dokumentiert, basierend auf den Grundlagen der Kinematik, die Arbeitsraumanalyse robotischer Systeme. Das Konzept zur Definition spezifischer Aufgaben, sowie deren intuitive Generierung und Darstellung mittels grafischer Programme ist ebenfalls eine Komponente dieses Kapitels. Die Implementierung der jeweiligen Abschnitte wird in Form der Header beigefügt und jeweils näher erläutert. Basierend auf diesen Teilprogrammen und deren persistierter Resultate im simplen JSON-Dateiformat, wird abschließend die Positionierung erforderlicher Roboterarme ermittelt. Anhand dieser Realisierung erfolgt eine Erweiterung bestehender Erkenntnisse vorangegangener Wissenschaftlicher Arbeiten um die Anwendung auf mehrere robotische Systeme. Diese Erweiterung ermöglicht die automatisiert Schöpfung kollaborative Multi-Roboter Arbeitsräume.
+
+\section{Arbeitsraumanalyse robotischer Systeme}
+Vahrenkamp et al. beschreiben in der Publikation die Analyse des Arbeitsraums eines robotischen Systems als Ausgangspunkt der Berechnung seiner optimalen Position hinsichtlich dessen Aufgabe \cite{Vahrenkamp.5620135102013}. Demzufolge stellt sie den ersten Abschnitt dieses Kapitels dar. Dazu dokumentieren Zacharias et al. in ihrer wissenschaftlichen Arbeit einen Ansatz, dessen Inhalt es ist, durch wiederholtes Anwenden kinematischer Algorithmen auf eine feste Menge generierter Endeffektor Posen in Form von Transformationen $^{0}T_{Endeff}  \in SE(3)$ relativ zum Koordinatenursprung \cite{Zacharias.102920071122007}.  
+Dazu erfolgt zunächst eine kubische Diskretisierung, die durch Angabe einer festen 'Auflösung' das Umfeld des Roboters in Vektoren $^{0}p \in \R^{3}$ in ein reguläres Gitter unterteilt. Der daraus entstehende diskretisierte Würfel aus Vektoren stellt die Menge aller zu analysierenden Ursprünge $^{0}p_{Endeff} \in ^{0}T_{Endeff}$ des Endeffektors dar. Als Metrik $D_{Reach}(p)$ zur Klassifizierung der Erreichbarkeit eines Vektors $^{0}p_{Endeff}$ dient die Gegenüberstellung der Menge $OR_{suc}(p)$ aller Orientierungen $^{0}R_{Endeff} \in ^{0}T_{Endeff}$, die der Endeffektor während der Berechnungen erfolgreich einnehmen kann, gegenüber der Menge $OR_{total}$ aller möglichen Orientierungen, die für jeden Vektor generiert und operiert werden. Anschließend werden die resultierenden $^{0}T_{Endeff}$ mit der Information über dessen Erreichbarkeit persistiert und bilden die 'reachability map'.\par 
+Die Komplexität dieses Verfahrens kann demzufolge mittels der $\mathcal{O}()$ Funktion zeitlich und räumlich Eingeordnet werden. Die Anzahl der auszuführenden Operationen ist das Produkt aller Vektoren und dem Set aller Orientierungen, die für den Endeffektor pro Vektor geprüft werden müssen. Während der sphärischen Diskretisierung, dem Prozess zur Generierung aller Orientierung $OR_{total}$, werden Vereinfachungen festgelegt, dessen Einfluss die Komplexität dezimiert. \par
+Aufgrund des hohen Zeitbedarfs, empfiehlt sich die vollständige Auslagerung auf das Hochleistungsrechenzentrum der TU-Dresden, um die Berechnungen mit dem Gitlab.Ci Interface über große Zeiträume vorzunehmen.
+
+\begin{equation}
+D_{Reach}(p) = \frac{\vert OR_{suc}(p) \vert}{\vert OR_{total} \vert}
+\end{equation}
+
+\begin{equation}
+\mathcal{O}(n^{3} \times \vert OR_{total} \vert)
+\end{equation}
+
+\subsection{Sphärische Diskretisierung}
+Die sphärische Diskretisierung beschreibt die Approximation einer Sphäre durch Vektoren $^{0}s \in \R^{3}$ um ein Zentrum $^{0}p \in \R^{3}$ mit festem Abstand $r \in \R$. Ziel dieses Prozesses ist die Generierung aller Orientierungen für $p$ durch die sphärischen Polarkoordinaten, die $s$ auf der erzeugten Sphäre definieren. Demnach beschreiben Azimut $\theta \in [ \, 0,2 \pi \,)$ den Winkel auf der XY Ebene des kartesischen Koordinatensystems und Colatitude $\phi \in [ \, 0,\pi \,]$ den Winkel zwischen Z Achse und $\overline{sp}$ \cite{SphericalCoordinates}. Bezogen auf die Orientierung eines Körpers, können diese Winkel als Yaw und Pitch interpretiert werden. Ein weiterer Winkel, der den Roll des Endeffektors beschreibt, vervollständigt das Set aller Orientierung $OR_{total}$. Um die Komplexität zu beschränken, wird basierend auf der Bauart eines Roboterarms die Annahme getroffen, dass der Endeffektor zu jeder Zeit eine vollständige Drehung vollziehen kann. Dies dezimiert die Kardinalität $\vert OR_{total} \vert$ und spart eine Dimension an Berechnungen während der Analyse. 
+Eine weitere Vereinfachung stellt die Annahme dar, dass Objekte nicht unterhalb ihres Ursprungs gegriffen werden können. Dies stellt ein eine Halbierung bezüglich des Orientierungssets dar.\par
+Das Abtasten dieser Winkelintervalle basierend auf einer festen Auflösung generiert ein ungleichmäßiges sphärisches Gitter, wodurch die Vektoren s nicht äquidistant verteilt sind. Zusätzlich ist die Distanz der Vektoren an den Polen marginal. Diese Beobachtungen implizieren, dass das resultierende Orientierungsset durch sein hohes Maß an ähnlichen und uneinheitlichen Orientierungen, für die Bewertung der Erreichbarkeit nicht geeignet ist.
+Daraus ist abzuleiten, dass die Verteilung der Vektoren s für eine qualitative Repräsentationen der Erreichbarkeit des Vektors $^{0}p_{Endeff}$ durch den Endeffektor, sowie des zeitlichen Aufwandes aller kinematischen Berechnungen, maßgeblich ist.
+\begin{equation}
+S = \{s\in \R^{3} : \vert \overline{sp} \vert = r\}
+\end{equation}
+
+
+\subsubsection{Zufalls-basierte Verteilung}
+Sphärische Diskretisierungen, dessen Verteilung keinem Schema folgt oder an räumliche Parameter gebunden ist, verteilen die Vektoren einer Sphäre nach Pseudozufallsverfahren. Die daraus entstehenden Orientierungen basieren demnach auf Zufall. Die Anzahl der zu verteilenden Vektoren ist durch eine Zahl $n \in \N$ gekennzeichnet und stellt die Initialisierung des Verfahrend da. Diese Analyse wird von ... ... vorgenommen, welche diese Art der Verteilung bezüglicher der Bewertung der Erreichbarkeit durch den Endeffektor als nachteilig charakterisiert. 
+
+\subsubsection{gleichmäßige Verteilung}
+Die äquidistante Verteilung einer festen Zahl $n \in \N$ Punkten auf einer Sphäre ist ein mathematisches Problem, dessen Lösung eine umfassende Bedeutung für Forschungsfelder der Biologie, Chemie und Physik hat. Beispielsweise basiert das Tammes's problem oder hard-spheres problem auf dieser Problemstellung, welches die Modellierung fluider Partikel untersucht \cite{Saff.1997}. Die Distanz der Punkte auf der Sphäre unterliegt dabei minimalen Abweichungen und erfüllt in Spezialfällen die Anforderung einer äquidistanten Verteilung. Methoden wie die Fibonacci- oder Spiral- Verteilungen bieten minimale Abweichungen, empfehlen sich daher für die Orientierungsgenerierung und bilden eine angemessene Repräsentieren der Erreichbarkeit des Vektors $^{0}p_{Endeff}$. Sie gehören zu den von Mikhal et al. angewendeten Methoden zur Arbeitsraumanalyse eines robotischen Systems \cite{Makhal.2018}. Deserno stellt seiner Arbeit zur verteilungsbasierten sphärischen Diskretisierung eine Methode der gleichmäßigen Verteilung, welche bisher nicht zum Zweck der Roboterplatzierung genutzt wurde, seine Abweichung beläuft sich auf ...  und ist eine der angewendeten Methoden in dieser wissenschaftlichen Arbeit \cite{Deserno.2004}.
\ No newline at end of file
diff --git a/thesis.tex b/thesis.tex
index 5a7d8a1e359fb9ed5b126e6a346bebee1b1c2c76..d1ee0c65fe8f369974a0ce6a78a7f87c8df18a08 100644
--- a/thesis.tex
+++ b/thesis.tex
@@ -79,6 +79,7 @@
 
 \input{lst.tex}
 \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
 
 \begin{document}
 
@@ -128,6 +129,7 @@
 
 \input{sections/einleitung}
 \input{sections/grundlagen.tex}
+\input{sections/konzept.tex}
 \input{sections/problem.tex}
 \input{sections/eval.tex}
 \input{sections/zusammenfassung.tex}